soal matematika informatika : prinsip inkulsi eksklusi

1. Dalam sebuah program studi pendidikan matematika yang terdiri atas 350 mahasiswa, terdapat 175 mahasiswa yang mengambil mata kuliah persamaan diferensial dan 225 mahasiswa yang mengambil mata kuliah analisis kompleks, dan 50 mahasiswa yang mengambil mata kuliah persamaan diferensial dan analisis kompleks. Ada berapa mahasiswa di dalam perkuliahan itu jika setiap mahasiswa mengambil mata kuliah persamaan diferensial, analisis kompleks, atau kedua-duanya?

a. 550
b. 350
c. 720
d. 360

Solusi :
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)

= 175 + 225 – 50
= 350

Ini berarti, terdapat 350 mahasiswa di dalam kelas yang mengambil mata kuliah persamaan diferensial, analisis kompleks, atau kedua-duanya. Karena banyaknya siswa keseluruhan di dalam kelas tersebut adalah 350 mahasiswa, artinya tidak terdapat mahasiswa yang tidak memilih salah satu dari kedua konsentrasi itu.

2. Ada berapa bilangan bulat positif lebih kecil atau sama dengan 100 yang habis dibagi 6 atau 9?

a. 35
b.20
c.22
d. 15

Solusi.

Misalkan

 A: himpunan bilangan bulat dari 1 sampai 100 yang habis dibagi 6

 B:himpunan bilangan bulat dari 1 sampai 100 yang habis dibagi 9.

Dengan menggunakan prinsip inklusi-eksklusi, banyaknya bilangan bulat dari 1 sampai 100 yang habis dibagi 6 atau 9

adalah	| A ∪ B |  =	| A | + | B | − | A ∩ B |
	=	[100 / 6] + [100 / 9] −  [100 /18]
	=	16 +11 + 5   =  22

3. Misalkan ada 1467 mahasiswa angkatan 2011 di ITB. 97 orang di antaranya adalah mahasiswa Prodi Informatika, 68 mahasiswa Prodi Matematika, dan 12 orang mahasiswa double degree Informatika dan Matematika. Ada berapa orang yang tidak kuliah di Departemen Matematika atau Informatika?

a. 1250
b. 2240
c. 1314
d. 1000

Solusi.

Misalkan A: himpunan mahasiswa angkatan 2004 di Departemen Informatika

B:   himpunan mahasiswa angkatan 2004 di Departemen Matematika

Maka |A|=97, |B|=68, dan |A∩B|=12.

Banyaknya mahasiswa angkatan 2004 di Departemen Informatika atau Matematika adalah

|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|= 97 + 68 – 12 = 153

Jadi, terdapat 1467 – 153 = 1314 mahasiswa angkatan 2004 yang tidak kuliah di Departemen Matematika atau Informatika.

4. Sebanyak 115 mahasiswa mengambil mata kuliah Matematika Diskrit, 71 Kalkulus Peubah Banyak, dan 56 Geometri. Di antaranya, 25 mahasiswa mengambil Matematika Diskrit dan Kalkulus Peubah Banyak, 14 Matematika Diskrit dan Geometri, serta 9 orang mengambil Kalkulus Peubah Banyak dan Geometri. Jika terdapat 196 mahasiswa yang mengambil paling sedikit satu dari ketiga mata kuliah tersebut, berapa orang yang mengambil ketiga mata kuliah sekaligus?

a. 1

b. 4

c. 5

d. 2

Solusi.

  |MD| = 115, |KPB| = 71, |G| = 56,

 |MD ∩ KPB| = 25, |MD ∩ G| = 14, |KPB ∩ G| = 9, dan |MD ∪ KPB ∪ G| = 196

Dengan mempergunakan prinsip inklusi-eksklusi:

|MD∪KPB∪G| = |MD| + |KPB| + |G| - |MD∩KPB| - |MD∩G| - |KPB∩G| + |MD∩KPB∩G|

196 = 115 + 71 + 56 - 25 - 14 - 9 + |MD ∩ KPB ∩ G| Jadi, |MD ∩ KPB ∩ G|                            = 2

5. Carilah banyaknya anggota dari |A ∪ B ∪ C ∪ D| jika setiap himpunan berukuran 50, setiap irisan dari dua himpunan berukuran 30, setiap irisan dari tiga himpunan berukuran 10, dan irisan dari keempat himpunan berukuran 2.

a. 58

b. 70

c. 56

d. 48

Solusi.

|A∪B∪C∪D|=|A| + |B| + |C| + |D| -  A∩B|-|A∩C|-|A∩D|-|B∩C| - |B∩D|- |C∩D| + |A∩B∩C|+ |A∩B∩D|+|A∩C∩D| + |B∩C∩D| -    |A ∩ B ∩ C ∩ D|

                      = 4 . 50 – 6 . 30 + 4 . 10 – 2 = 58